[Recuerda que en este Blog los enlaces para la descarga del código se encuentran al final del artículo.]

En ciertas ocasiones nos encontramos con funciones para las que no podemos hallar una primitiva, esto puede deberse por supuesto a falta de habilidad de nuestra parte, aunque también ocurre que alguna funciones elementales simplemente no tienen primitivas que al igual sean funciones elementales que podamos calcular, por ejemplo, no hay funciones elementales que tengan alguna de las siguientes como su derivada:

Funciones que no tienen primitivas, en estos casos se recurre a los métodos numéricos para integrarlas.
Funciones que no tienen primitivas, en estos casos se recurre a los métodos numéricos para integrarlas.

Cuando se desea calcular una integral definida que contiene una función cuya primitiva no podemos hallar, entonces no se puede aplicar el teorema fundamental del cálculo y es aquí cuando se debe recurrir a una técnica de aproximación.

 

Regla de los Trapecios.

Una forma de aproximar una integral definida, consiste en usas N trapecios, como se muestra en la figura 1. En el desarrollo de este método, se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b] y que la integral definida punto fijo representa el área de la región limitada por la gráfica de y el eje X, desde x=a hasta x=b. [1]

Función Y(x), el área bajo la curva, se puede aproximar mediante n trapecios, en este caso 4.
Figura 1: Función Y(x), el área bajo la curva, se puede aproximar mediante n trapecios, en este caso  4 trapecios.

 

Algoritmo para el Método de los Trapecios.

En el caso de las aproximaciones de las integrales por el método de los trapecios, es tan simple tanto en descripción como a nivel de código, como es sabido, en este blog no nos proponemos dar una demostración matemática de los métodos aquí propuestos, aunque es posible hacerlo, principalmente nos enfocamos en su funcionamiento y en que el lector pueda comprender su uso y llevar a cabo el código (nuestro objetivo es en Matlab, aunque se puede hacer en cualquier lenguaje o programa), es por esto, que nos limitaremos únicamente a la utilización de la “formula” y los pasos que se deben seguir para implementar nuestro método; el algoritmo es el siguiente:

  1. En primer lugar se parte el intervalo comprendido entre [a, b] en subintervalos más pequeños, definidos por la variable N, nombrando el ancho de esos subintervalos como dx (que en nuestro caso representa a delta X).

punto fijo

       2.  Se realiza la siguiente serie (hacer clic para ver en tamaño mas amplio):

punto fijo

Como se puede observar, es una sumatoria, donde todos los términos  están   multiplicados por 2 excepto el primero y el ultimo termino y posteriormente están multiplicados todos por lo que podríamos llamar entonces dx/2.

Código en Matlab.

En esto punto crearemos una función en Matlab, que nos permita aproximar aquellas funciones de las que se habló con anterioridad, manteniendo los criterios ya mencionados  en primer lugar, crearemos en nuestro directorio una función llamada intrap (integrales por trapecios), que recibirá como parametros, el la función, el limite inferior y el limite superior; también pudiéramos recibir como parámetro el numero de subintervalos deseados N, nosotros lo definimos como 400 ya que por lo regular las regiones a integrar no son muy grandes, pero la modificación del código es libre y si quieres, puedes recibir también el parámetro N (tambien se puede hacer, para aumentar la precisión).

punto fijo

Posteriormente, como dijimos le daremos el valor de N=400 aunque esto depende de su elección a la hora de montar el programa como recibiendo el parámetro, en este punto se calcula el valor de dx (delta x) con la formula que se vio en el punto 1 del algoritmo, también se evalúa el primer termino de la serie, ya que este no esta multiplicado por 2 y es el resultado de evaluar la expresión Y en el limite inferior.

punto fijo

 Ahora se usará un ciclo FOR para contar el número de iteraciones, las cuales dependerán del número de subintervalos, la variable I se inicia con un valor de 2, para descontar la evaluación del primer termino que se hizo al inicio del programa, y para descontar la ultima iteración, que se hará luego de termino el FOR, ya que esta ultima tampoco esta multiplicada por 2.

punto fijo

Luego de terminado el ciclo FOR, se procede a hacer la evaluación del n-ésimo termino, es decir, el ultimo termino. después de esto, como se comentó al final de algoritmo, se multiplican todos los términos sumados por DX/2, así:

punto fijo

Finalmente después de ejecutado todo el código, el programa nos retornará una buena aproximación de la integral que queremos hallar por más difícil que esta sea.

La forma correcta de utilizar esta función, en nuestro caso es, declarando inicialmente una variable simbólica por ejemplo t posteriormente podemos nombrar una función f(t) y llamar a la función intrap(f,a,b) donde A será el limite inferior de nuestro intervalo de integración y B el superior, el funcionamiento se ilustra a continuación donde los limites de la función serán de 0 (cero) a PI.

punto fijo

El valor exacto, como resultado de llevar a cabo la integración de SENO(X) entre 0 y pi es 2; en el ejemplo anterior podemos notar la aproximación llevada a cabo mediante el método del trapecio.

El código de la función estudiada en esta entrada lo puedes descargar desde este enlace, puedes hacer las modificaciones que quieras, con el fin de experimentar y obtener una mayor comprensión de este método, si tienes alguna duda, puedes dejar tu comentario.

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Referencias: Larson. Hostetler. “Cálculo y geometría analítica”, 3ra edición. editorial McGraw-Hill. México.

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